【等差数列乘等比数列的前n项和怎么求】在数学学习中，我们经常遇到等差数列与等比数列相乘后形成的数列，例如：若有一个等差数列 $\{a_n\}$ 和一个等比数列 $\{b_n\}$，则它们的乘积数列为 $\{a_n \cdot b_n\}$。这类数列的前n项和是常见的数学问题之一，本文将总结其求解方法，并通过表格形式清晰展示。
一、基本概念
- 等差数列：每一项与前一项的差为常数，通项公式为 $a_n = a_1 + (n - 1)d$。
- 等比数列：每一项与前一项的比为常数，通项公式为 $b_n = b_1 \cdot r^{n-1}$。
- 乘积数列：$c_n = a_n \cdot b_n = [a_1 + (n - 1)d] \cdot b_1 \cdot r^{n-1}$。
二、求和方法
对于数列 $\{c_n\} = a_n \cdot b_n$ 的前n项和 $S_n = \sum_{k=1}^n c_k$，可以使用错位相减法进行求解。具体步骤如下：
步骤1：设前n项和为 $S_n$
$$
S_n = a_1 b_1 + (a_1 + d) b_1 r + (a_1 + 2d) b_1 r^2 + \cdots + [a_1 + (n - 1)d] b_1 r^{n-1}
$$
步骤2：两边同时乘以公比 $r$
$$
r S_n = a_1 b_1 r + (a_1 + d) b_1 r^2 + (a_1 + 2d) b_1 r^3 + \cdots + [a_1 + (n - 1)d] b_1 r^n
$$
步骤3：用原式减去新式
$$
S_n - r S_n = (1 - r) S_n = a_1 b_1 + d b_1 r + d b_1 r^2 + \cdots + d b_1 r^{n-1} - [a_1 + (n - 1)d] b_1 r^n
$$
步骤4：化简右边
右边是一个等差数列与等比数列的组合，可进一步拆分计算。
三、通用公式（简化版）
若等差数列首项为 $a$，公差为 $d$；等比数列首项为 $b$，公比为 $r$，则乘积数列的前n项和公式为：
$$
S_n = \frac{ab(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{d b r (1 - (n)(1 - r) r^{n-1})}{(1 - r)^2}
$$
> 注意：当 $r = 1$ 时，需单独处理，因为此时等比数列为常数列，乘积数列变为等差数列。
四、实例分析
| n | 等差数列 $a_n$ | 等比数列 $b_n$ | 乘积 $c_n = a_n \cdot b_n$ |
| 1 | 1 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 12 |
| 3 | 5 | 8 | 40 |
| 4 | 7 | 16 | 112 |
前4项和为：$2 + 12 + 40 + 112 = 166$
五、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 数列类型 | 等差数列 × 等比数列 |
| 通项公式 | $c_n = [a + (n - 1)d] \cdot b \cdot r^{n - 1}$ |
| 求和方法 | 错位相减法 |
| 公式 | $S_n = \frac{ab(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{db r (1 - n(1 - r) r^{n - 1})}{(1 - r)^2}$ |
| 特殊情况 | 当 $r = 1$ 时，退化为等差数列求和 |
| 适用范围 | $r \neq 1$ 时通用，$r = 1$ 需另作处理 |
通过上述方法和公式，我们可以系统地求出等差数列与等比数列乘积的前n项和。掌握这一技巧，有助于解决更多复杂的数列求和问题。