【什么是几何平均数】几何平均数是一种用于计算多个数值之间平均值的统计方法，尤其适用于具有乘法关系的数据集。与算术平均数不同，几何平均数更适用于增长比率、投资回报率、指数变化等场景。它能够更准确地反映数据的“平均增长”或“平均比例”。
在实际应用中，几何平均数常用于金融、经济、生物学等领域，特别是在处理百分比变化或增长率时，能避免算术平均数可能带来的偏差。
几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得的结果。其公式如下：
$$
\text{几何平均数} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n}
$$
其中，$x_1, x_2, \dots, x_n$ 是正数。
与算术平均数的区别
| 特性 | 算术平均数 | 几何平均数 |
| 定义 | 所有数值之和除以数量 | 所有数值相乘后开n次方 |
| 适用场景 | 均匀分布的数据 | 比例、增长率、指数变化的数据 |
| 对极端值敏感 | 敏感 | 相对不敏感 |
| 是否允许负数 | 允许 | 不允许（必须为正数） |
几何平均数的应用实例
示例1：投资回报率
假设某基金连续三年的年回报率分别为 10%、20% 和 30%，那么其几何平均收益率为：
$$
\sqrt[3]{(1 + 0.10) \times (1 + 0.20) \times (1 + 0.30)} - 1 = \sqrt[3]{1.1 \times 1.2 \times 1.3} - 1 \approx 19.7\%
$$
而算术平均数为 $ \frac{10\% + 20\% + 30\%}{3} = 20\% $，但几何平均数更能反映实际的复合增长率。
示例2：人口增长
若一个城市的人口在5年内分别增长了 2%、3%、4%、5%、6%，则其平均增长率为：
$$
\sqrt[5]{1.02 \times 1.03 \times 1.04 \times 1.05 \times 1.06} - 1 \approx 4.03\%
$$
几何平均数的优点与局限性
| 优点 | 局限性 |
| 更适合处理增长率或比例数据 | 必须所有数值为正数 |
| 避免极端值对结果的过度影响 | 计算相对复杂 |
| 能更真实反映复合增长情况 | 不适用于非乘法关系的数据 |
总结
几何平均数是一种用于计算多个数值“平均比例”或“平均增长率”的统计方法，特别适用于涉及乘积关系的数据。它在金融、经济、科学分析等领域有着广泛的应用。相比算术平均数，几何平均数在处理增长类数据时更为准确，但也有一些使用限制，如不能包含负数或零。
通过合理选择平均数类型，可以更准确地理解和分析数据背后的真实趋势。